1.函数的定义
设x,y是两个变量,x的变化范围是实数集D。如果对于任何的x∈D,按照一定的法则都有唯一确定的y值与之对应,则称变量y是变量x的函数,记为 y=f(x),称D是函数的定义域,x为自变量,y为因变量。
对于一个确定的x₀∈D,与之对应的y₀=f(x₀)称为函数y在点x₀处的函数值,全体函数值的几何称为函数y的值域,记为f(D),即
f(D)={y|y=f(x),x∈D}
函数的两要素:定义域和对应法则
“两个函数相等”意味着这两个函数的定义域相同,对应法则也相同。
2.函数的几种特性
(1)有界性:|f(x)| ≤ M
(2)单调性:
单调递增:如果x₁,x₂∈I,x₁<x₂,都存在f(x₁)<f(x₂)
单调递减:如果x₁,x₂∈I,x₁<x₂,都存在f(x₁)>f(x₂)
(3)奇偶性:
偶函数:对于定义域中的任意x,都存在f(-x)=f(x)
奇函数:对于定义域中的任意x,都存在f(-x)=-f(x)
其中,对于两个在定义域内有定义的函数:
①两个偶函数之和、之积为偶函数
②两个奇函数之和为奇函数,之积为偶函数
③一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数
(4)周期性:必然存在f(x+T)=f(x)
例如y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cot x均为周期函数
3.用变上、下限积分表示的函数
4.两个无穷小的比较
5.常见的等价无穷小
6.领域
我们经常会运用一种特殊的开区间(α-δ,α+δ),我们称这个开区间为点的邻域,记为U(α,δ),即 U(α,δ) = (α-δ,α+δ) ,称点α为邻域的中心,δ为邻域的半径。
有时候,我们只考虑点α邻近的点,而不考虑点α,即考虑点集 {x|α-δ<x<α且α<x<α+δ},我们称这个点集为点α的“去心邻域”,记为U°(α,δ),即
U°={x|α-δ<x<α且α<x<α+δ}
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本文标题:(函数的概念)(函数的概念及其表示教案)
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